Criterio de divisibilidad por 7
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- Categoría: ESO
- Publicado el Lunes, 12 Septiembre 2011 21:34
- Escrito por Mariano Herrero
Divisibilidad por 7:
Los divisores de 7 son: 1 y 7 puesto que es número primo.
Unos cuantos múltiplos de 7 son: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112,.., 182, 189, 196, 203,...
Criterio 1: Un número es divisible por 7 cuando la suma de los productos de los dígitos de la serie {1, 3, 2, –1, –3, –2} por los dígitos de las unidades, decenas, centenas,... del número a probar es 0 o múltiplo de 7.
Ejemplo 1: Veamos si el 3427 es divisible por 7.
Queda la suma: 7·1 + 2·3 + 4·2 + 3·(–1) = 7 + 6 + 8 – 3 = 18; como 18 no es múltiplo de 7, resulta que 3427 no es divisible por 7.
Ejemplo 2 : Estudiemos si 7628114 es divisible por 7.
Porque tiene 7 dígitos, emplearemos los seis dígitos de la serie y como necesitamos uno mas, comenzamos de nuevo la serie y tomamos el primero. Así pues iniciando por las unidades (última cifra) cada cifra del número 7628114 se multiplica por la serie 1, 3, 2, –1, – 3, –2, 1 y sumamos:
4·1 + 1·3 + 1·2 + 8·(–1) + 2(–3) + 6·(–2) + 7·1 = 4 + 3 + 2 – 8 – 6 – 12 + 7 = 16 – 26 = – 10 que no es múltiplo de 7, por tanto 7628114 no es divisible por 7.
Los números 35, 49, 63, 77, 91, 112, 119, 133, 147, 161 y 189 son divisibles por 7.
Estudio de otras reglas: 2, 3, 4, 5, 10- 6 -11- -13- 15 -17- -19- -23- -29- y 41.
Regla o Criterio del 7:
"Suprime" (quita...) el último dígito del número dado; resta el doble de ese dígito al número obtenido anteriormente. Si este último resultado es divisible por 7, el número original también lo es. La regla es reiterante y se emplea las veces que se necesiten hasta conseguir números pequeños que sepamos que son divisible por 7.
Ejemplo 3: Estudia el número 678249.
Se "suprime" la última cifra 9, quedando 67824 (decenas) y 9 (unidades); fijamos criterio:
63824 – 2·9 = 63806 "quita" el 6 (último dígito) y tenemos 6380 (decenas) y 6; aplicamos criterio:
6380 – 2·6 = 6368 si "suprimimos" la última cifra 8, se obtiene 636 y 8;
636 – 2·8 = 620
62 – 2·0 = 62
Como 62 no es múltiplo de 7, 678249 tampoco lo es.
Criterio 3: "Eliminamos" (retiramos...) los dos últimos dígitos al número ; hacemos la diferencia entre el resultado obtenido y el triple del número formado por esos dos últimos dígitos. Si esa diferencia es 0 o múltiplo de 7 el número primitivo es divisible por 7. El proceso se repite cuantas veces sea preciso.
Ejemplo 4: Estudiamos el número 64736.
Se "eliminamos" las dos últimas cifras 36, se obtiene 6473 (centenas) y 36; lo denotamos 647·100 + 36 y aplicando criterio:
647 – 3·36 = 647 – 108 = 539 Retirando el 39 (últimas dos cifras) queda 5 (centenas) y 39.
5 – 3·39 = 5 – 117 = –112 se hace positivo y se elimina el 12 (dos últimas cifras) y tenemos 1 (centenas) y 12.
1 – 3·12 = 1 – 36 = –35 que es múltiplo de 7, lo que significa que el número 64736 es divisible por 7.
Ejemplo 5: Veamos 39216782.
Si "eliminamos" las dos últimas cifras 82 obtenemos 392167 (centenas) y 82
392167 – 3·82 = 392167 – 246 = 391921 "retiramos" dos últimas cifras 21, conseguimos 3919 (centenas) y 21
3919 – 3·21 = 3919 – 63 = 3856
38 – 3·56 = 38 – 168 = – 130 (el signo no cuenta y eliminando 30 queda 1 (centenas) y 30
1 – 3·30 = 1 – 90 = – 89 que no es múltiplo de 7 (13·7 = 91), luego 39216782 no es divisible por 7.
Demostración: Si multiplicamos la ecuación del axioma 2 por 3 –––> 3N = 300x + 3y y restando 43·7x = 301x a los dos miembros el número resultante x – 3y también lo es.