Criterio de divisibilidad por 19
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- Categoría: ESO
- Publicado el Jueves, 22 Septiembre 2011 01:00
- Escrito por Mariano Herrero
Divisibilidad por 19:
Los divisores de 19 son 1 y 19 (número primo).
Algunos múltiplos de 19 son : 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247,..., 342, 361, 380, 399, 418,...
Criterio 1: La serie de restos potenciales respecto de 19 es: 1, 10, 5, –7, 6, 3, –8, –4, –2, –1, 9, –5, 7, –6, –3, 8, 4, 2
Dado un número decimos que es divisible por 19 cuando la suma de la cifra de sus unidades multiplicada por el (primer número de la serie), más la cifra de sus decenas multiplicada por el (segundo número de la serie), más la cifra de sus centenas multiplicada por el (tercer número de la serie), más ..., es 0 o múltiplo de 19. El proceso se puede repetir.
Ejemplo 1: ¿es divisible por 19 el número 51035?
Utilizamos los cinco primeros números de la serie: 1, 10, 5, –7, 6, luego
5·1 + 1·10 + 0·5 + 3(–7) + 5·6 = 5 + 10 + 0 – 21 + 30 = 45 – 21 = 24, que no es múltiplo de 19, y en consecuencia 51035 tampoco lo es.
Ejemplo 2: Estudia si la división 6099 entre 19 es exacta sin hacerla.
Para ello estudiamos si 6099 es múltiplo de 19, aplicando criterio anterior. Usamos los números 1, 10, 5 y –7, porque el número dado tiene 4 cifras:
9·1 + 9·10 + 0·5 + 6(–7) = 9 + 90 + 0 – 42 = 57, que es múltiplo de 19 (19·3 = 57), luego la división es exacta.
Otras reglas de divisibilidad para 2,3–10 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23, 29, 41 , 47 , y 53
Regla o Criterio del 19: Un número es divisible por 19
si la suma del número que se obtiene al "quitar" (retirar...) la última cifra al número dado (unidades) y el doble de esa última cifra es 0 o múltiplo de 19. Como antes este proceso es recurrente.
Ejemplo 3: Estudiar si el 10982 es divisible por 19.
Si "quitamos" la última cifra queda 1098 (decenas) y 2 (unidades). Aplicando regla:
1098 + 2·2 = 1102. Separando la última cifra 2, obtenemos 110 y 2
110 + 2·2 = 114. retiramos el 4 quedando 11 y 4:
11 + 4·2 = 19.
Luego 10982 es divisible por 19.
Ejemplo 4: Estudiar si 1059 es divisible por 19.
"Retirando" la última cifra queda 105 (decenas) y 9 unidades. fijando regla:
105 + 9·2 = 123. separamos el 3 (última cifra) y se obtiene 12 y 3, luego
12 + 3·2 = 18
En consecuencia 1059 no es divisible por 19.
Demostramos este criterio: Si tenemos en cuenta alguna de las propiedades de los números congruentes y el axioma 1:
Multiplicando por 2 queda: 2N = 20x +2y
Ahora restamos 19x quedando: 2N – 19x = x + 2 y (19x es múltiplo de 19).
y resulta que x + 2y también es múltiplo.