Divisibilidad por 23
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- Categoría: ESO
- Publicado el Viernes, 23 Septiembre 2011 00:19
- Escrito por Mariano Herrero
Criterio de divisibilidad por 23:
Los divisores de 23 son 1 y 23, porque es primo.
Los múltiplos de 23 son: 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207, 230, ..., 368, 391, 414, 437, 460, 483,...
Criterio 1: Un número es divisible por 23 si cuando le "quitamos o retiramos" su última cifra (de las unidades), la suma del número resultante y 7 veces esa última cifra es 0 o múltiplo de 23. Este método es recurrente.
Ejemplo 1: Estudiar si 416282 es divisible por 23.
Si "quitamos" la última cifra 2, el resultado es 41628 ( decenas) y 2 (unidades) y aplicando regla:
41628 + 7·2 = 41642 repetimos el proceso con este resultado
"retiramos " la última cifra 2 (unidades), quedando 4164 (decenas) y 2:
4164 + 7·2 = 4178 "suprimiendo" el 8 (última cifra) se obtiene 417 (decenas) y 8:
417 + 7·8 = 473
47 + 7·3 = 68 que no es divisible por 23 , luego 416282 tampoco lo es.
Ejemplo 2: Estudia si 21735 es divisible por 23
"Quitamos" la última cifra 5 (unidades), el resultado es 2173 (decenas) y 5; fijando criterio:
2173 + 7·5 = 2208 repetimos y "retirando" la última cifra 8, se tiene 220 (decenas) y 8:
220 + 7·8 = 276
27 + 7·6 = 69 que es múltiplo de 23, luego 21735 es divisible por 23.
Hacemos la demostración del criterio: Multiplicando por 7 el axioma 1 queda 7N = 70x +7y
Ahora resto 69x quedando: 7N – 69x = x +7y (69x = 23·3x es múltiplo de 23).
y x + 7y también.
46, 92, 115, 253, 276, 299, 322, 345, 529 y 552 son divisibles por 23.
Estudio de Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5-10 –7– –11– –13– –17– –19– –37– –41–
Regla del 23:
La serie de restos potenciales respecto a 23 es: 1, 10, 8, 11, –5, –4, 6, –9, 2, –3, –7, , –1, –10, –8, –11, 5, 4, –5, 9, –2, 3, 7
Dado un número decimos que es divisible por 23 cuando la suma de los productos de dos factores (primer número de la serie por la cifra de las unidades del número dado, segundo número de la serie por la cifra de las decenas, tercer número de la serie por la cifra de las centenas,...) es 0 o múltiplo de 23.
Ejemplo 3: ¿Es divisible por 23 el número 720315?
El número tiene 6 dígitos, por consiguiente tenemos que utilizar los seis primeros números de la serie.
Aplicando criterio la suma: 1·5 + 10·1 + 8·3 + 11·0 +(–5)2 + (–4)7 = 5 + 10 + 24 + 0 – 10 – 28 = 39 – 38 = 1 no es múltiplo de 23, por tanto 720315 no es divisible por 23.
Ejemplo 4: Prueba que 8717 es divisible por 23.
Hacemos la suma de estos productos: 1·7 + 10·1 + 8·7 + 11·8 = 7 + 10 + 56 + 88 = 161
Reiteramos el método con este resultado, cuya suma: 1·1 + 10·6 + 8·1 = 1 + 60 + 8 = 69 es múltiplo de 23, por tanto 720315 es divisible por 23.