Criterio de divisibilidad por 27

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Categoría: ESO
Publicado el Viernes, 09 Septiembre 2011 16:05
Escrito por Mariano Herrero

 

Estudiamos los criterios del 27 por dos métodos: Restos potenciales módulo 27 y por descomposición de un número en dos partes: unidades y demás cifras. Su descomposición factorial es 27 = 33, por lo que se trata de un cubo perfecto.

Divisibilidad por  27:


Los divisores de 27 son: 1, 3, 9 y 27.
Los primeros múltiplos de 27 son: 54, 81, 108, 135, 162, 189, 216, 243, 270, ..., 351, 378, 405, 432,...

Criterio 1: Los restos potenciales  módulo  27  que obtenemos son: 1, 10, – 8, 1, 10, –8,...

Un número es divisible por 27 si cuando realizamos los productos de (la cifra de las unidades por 1, la cifra de las decenas por 10, la cifra de las centenas por (–8), la cifra de los millares por 1, la cifra de las decenas de millar por 10, la cifra de las centenas de millar por (–8)),..., la suma de estos es 0  o múltiplo  de  27.

Cuando los dígitos del número sean más de 3, se comienza de nuevo con los números de la serie las veces que se precisen hasta finalizar con todos los dígitos del número.

Ejemplo 1 : Estudiemos si  73142  es divisible por 27.
Aplicando el criterio, la suma:  2·1 + 4·10 + 1(– 8) + 3·1 + 7·10 = 2 + 40 – 8 + 3 + 70 =  112  no es múltiplo de 27 (pues 27·4 = 108  y 27·5 = 135),  luego 73142 no es divisible por 27.

Ejemplo 2: Probar que el número  1407969  es divisible por 27.
Si fijamos el criterio tenemos la suma:  9·1 + 6·10 + 9(– 8) + 7·1 + 0·10 + 4(– 8) + 1·1= 9 + 60 – 72 + 7 + 0 – 32 + 1 = – 27  que es múltiplo de 27,  por tanto el número  1407969 es divisible por 27.

Ejemplo 3: ¿ El número 9131 es divisible por 27?
Como en casos anteriores aplicamos la regla:   1·1 + 3·10 + 1(– 8) + 9·1  =  1 + 30 – 8 + 9 =  32 ,  que no es múltiplo de 27, luego 9131  no es divisible por 27.

Para constatar otras normas o reglas de  divisibilidad por 7    -11-   -13-      -17-     -19-      -23-     -37-       -47-

Regla o Criterio por 27:

Un número es divisible por 27  si la diferencia entre el número generado de "quitar" (eliminar...) la última cifra (unidades) al número dado  y  8 veces esa última cifra, es 0  o múltiplo de 27.

Por ser recurrente, el procedimiento se reitera las veces que sean necesarias hasta que  consigamos un número más pequeño que sepamos si es o no  múltiplo de 27.

Ejemplo 4 : Estudia el 69525.
Si "quitamos"  la última cifra 5, obtenemos   6952 (decenas) + 5 (unidades); aplicando criterio:
6952 – 5·8 = 6912        Si "eliminamos"  la última cifra 2, se obtiene  691  y  2:
691 – 2·8 = 675         
67 – 5·8 = 27      que  es múltiplo de 27, luego 69525  también lo es  y por tanto  divisible por 27.

Ejemplo 5 : Veamos el número 7013952.
Si se "quita" la última cifra 2, obtenemos 701395 (decenas)  y  2; aplicamos criterio:
701395 – 2·8  = 701379          "retirando" el 9 (último dígito), se obtiene 70137  y  9
70137 – 9·8 = 70065             se elimina el 5 , y queda  7006  y  5
7006 – 5·8 = 6966
696 – 6·8 = 648
64 – 8·8 = 0,  luego  7013952   es múltiplo de 27.

Ejemplo 6: ¿1333  es múltiplo de 27?.
Se "quitamos" la última cifra 3 se obtiene 133 (decenas) y  3; fijando criterio: .
133 – 3·8 = 109           igualmente  eliminamos  el 9, y se genera  10  y  9:
10 – 9·8 = – 62,       que no es múltiplo de 27 (pues 27·2 = 54  y  27·3 = 81), así pues  1333 no es múltiplo de 27 y  como  consecuencia no es divisible por 27.