CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. RESTOS POTENCIALES

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Categoría: ESO
Publicado el Domingo, 07 Agosto 2011 00:30
Escrito por Mariano Herrero

 

Antes del estudio de los criterios  de divisibilidad que están en muchos libros de textos, explicaremos de manera fácil la deducción de las reglas. Para ello vamos a utilizar otro concepto matemático como son los restos potenciales.

Restos potenciales  de un número  n  respecto de un módulo  m  son los restos que se generan al dividir las distintas potencias de n ( n0, n1, n2, n3, n4, ...) entre  m.

Ejemplo: Hallemos los restos potenciales de 7 respecto de módulo 4; las potencia sucesivas de 7 son: 70, 71, 72, 73, 74, 75...  = 1, 7, 49, 343, 2401, 16807... que divididos entre 4 nos dan los restos 1, 3, 1, 3, 1, 3... ( período 1, 3)

En el sistema métrico decimal de base 10, cualquier número se puede descomponer en potencias de 10. Así el número 5734 se puede descomponer en potencias de 10:  4·100 + 3·101 + 7·102 + 5·103  =  4·1+ 3·10 + 7·100 + 5·1000
4  es la cifra de las unidades; 3 la cifra de las decenas; 7 la cifra de las centenas...

En general un número N =   ..fedcba (...fedcba son sus cifras)  = a·100 + b·101 + c·102  + d·103 + e·104 + f·105 + .... = a·1 + b·10 + c·100  + d·1000 + e·10000 + f·100000 + ....

Al dividir 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ... por  m  tenemos los restos potenciales  r1, r2, r3, r4, r5, r6, ...,r(m-1). Estos restos potenciales o bien son periódicos o bien llegamos a encontrar uno que es CERO, y en consecuencia todos los infinitos siguientes también.

Restos potenciales negativos

Cuando  hallamos los restos  potenciales respecto de 29, los restos posibles son 0, 1, 2, 3,...28. Por ejemplo, si tenemos el resto potencial 28, utilizamos el resto potencial negativo  –1 (complemento a 29, con signo negativo), porque es un número más pequeño de manejar. Si el resto potencial es 25, equivale al resto potencial negativo  –4.

 

Propiedad: Para que un número sea divisible por  m  la suma  a·r1 + b·r2 + c·r3 + d·r4 + e· r5 + f·r6 + ... ha de ser 0 o múltiplo de m.

 

Deducción de la regla de divisibilidad por 2:

                                                                                               Hallemos los restos potenciales de N respecto de 2.

Dividiendo 1 entre 2 tenemos cociente 0 y resto 1;

dividiendo 10 entre 2, el cociente es 5 y el resto 0.

Cuando un resto es 0 ya no seguimos, pues los restantes también son CERO. El único resto potencial es  r1 = 1.
Luego para que un número sea divisible por  2  la suma  a·1 = a  (es la cifra de las unidades)  ha de ser 0 o  múltiplo de 2  (2, 4, 6, 8; es decir 0 o cifra par como dice la regla)

Deducción de la regla de divisibilidad por 3:

                                                                                               Hallemos los restos potenciales de N respecto de 3. Siguiendo el método anterior, dividiendo 1, 10,100, 1000... entre 3, tenemos los restos   1, 1, 1...
En consecuencia  a·1 + b·1 + c·1 + d·1 + ... = a + b + c + d + .. (esto es la suma de sus cifras) tiene que ser  0, 3 o múltiplo de 3   

Deducción de la regla de divisibilidad por 37:

                                                                                                  Hallemos los restos potenciales de N respecto de 37. Siguiendo como antes, dividiendo 1, 10,100, 1000... entre 37, tenemos los restos   1, 10, 26, 1, 10, 26, …  que es periódico.
Como 26 es un número grande podemos sustituirlo por su complementario (37 – 26) = 11 pero con signo negativo (resto potencial negativo  –11) y tenemos la serie  1, 10, –11,
En consecuencia  para que un número sea divisible por 37:  a·1 + b·10 + c·(–11) + d·1 + e· 10 + f·(–11) +..   ha de ser 0 o múltiplo de 37.

Ejemplo 1: Veamos si el número  531934  es divisible por 37. Sumamos los productos 4·1 + 3·10 + 9·(–11) +  1·1 + 3·10 + 5·(–11) = 4 + 30 – 99 + 1 + 30 – 55 = – 89  que no es múltiplo de 37, luego   531934  tampoco lo es.

Axioma 1: Todo número en base 10, se puede descomponer como suma de dos : N = 10x + y. La variable x representa el número de decenas e y las unidades.

Como ejemplo  si a  45671 "quitamos" la cifra de las unidades nos queda  4567 y se expresa:  45671 = 4567·10 + 1.

 

Axioma 2: Todo número en base 10, también lo expresamos como suma de dos : N = 100x + y.

La variable x designa el número de centenas  e y  el número formado por las dos últimas cifras de N.

Lo aclaramos con un  ejemplo:   si a  734628  "suprimimos" las dos últimas cifras  "28"  tenemos  7346 y lo expresamos:  734628 = 7346·100 + 28

Con ello podemos deducir el criterio de divisibilidad para cualquier número primo:  17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, ...

 

Veamos los criterios

Divisibilidad por 2:

                                                Es número primo y sus únicos divisores son  1  y 2.

Un número es divisible por  2  si termina en cero o cifra par
Ejemplo 2: El número  486  es divisible por 2 porque es número par y el 59 no lo es por ser número impar.

Divisibilidad por 3:

                                               Sus divisores son el 1 y el 3, pues es número primo

Un número es divisible por  3  si la suma de sus cifras es 0, 3 o múltiplo  de  3
Ejemplo 3: El número  58  no es divisible por 3 porque la suma de sus cifras  5 + 8 = 13 no es divisible por  3; el número  546  es divisible por 3 porque la suma de sus cifras  5 + 4 + 6 = 15 es divisible por  3.

Divisibilidad por 4:

                                               Los restos potenciales respecto de 4 son 1, 2, 0. Es un cuadrado perfecto

Un número es divisible por  4  si la suma de la cifra de las unidades más el doble de la cifra de las decenas es 0  o múltiplo  de  4.


Ejemplo 4: El número  198  no es divisible por 4 porque 8 son las unidades y  2·9 = 18 el doble de la cifra de las decenas siendo la suma   8 + 2·9 = 8 + 18 = 26  que no es múltiplo  de  4
 
Ejemplo 5: El número  4128  es divisible por 4 porque 8 son las unidades y  2·2 = 4 el doble de las decenas siendo la suma   8 + 2·2 = 8 + 4 = 12  que es  múltiplo  de  4.


 Divisibilidad por 5:

                                               Por ser número primo sus únicos divisores son 1 y 5

Un número es divisible por  5  si termina en cero o 5.


Ejemplo 6: El número  46  no es divisible por 5 porque no termina en 5 ni en 0; sí lo es el número 10085  porque termina en 5.

 

Ejemplo 7: Dado el número 452X0, determina el valor de la cifra  X  para ser divisible por  5.

Puede tomar cualquier valor, o sea  0, 1, 2, 3, ..., 9  pues para que sea divisible por 5 sólo se tiene en cuenta la última cifra, que ha de ser 0 o 5.

 

Divisibilidad por 10:

                                                 El único resto potencial válido es 1. Los demás son CERO.

Luego un número es divisible por 10 si el número termina en 0. Como ejemplo el número 110, 420, 1790 o 21000. No lo son los números 3212, 2324 ni 523.

 

En esta web se estudian los  Criterios de divisibilidad  por  12 y 14   y la de muchos otros números como   por  7  11,   -13-   17,   19   23,   33     37    41      43     47      -53-