Criterio de divisibilidad por 53
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- Categoría: ESO
- Publicado el Domingo, 25 Septiembre 2011 17:36
- Escrito por Mariano Herrero
Divisibilidad por 53:
Los divisores de 53 son 1 y 53 porque es número primo.
Los múltiplos de 53 son: 106, 159, 212, 265, 318, 371, 424, 477, 530, 583, ..., 795, 848, 901, 954, 1007, 1060, 1113,...
Criterio 1: La lista de restos potenciales lo forman los números: 1, 10, – 6, –7, –17, –11, – 4, 13, 24, –25, 15, – 9, 16.
Un número es divisible por 53 si y solo si cuando hallamos los productos de los números de la lista 1, 10, – 6, –7,..., por las cifras de las unidades, decenas, centenas, millares,... del número dado, la suma de esos productos es 0 o múltiplo de 53.
Ejemplo 1: 418037 ¿es divisible por 53?
El número tiene 6 cifras, lo que significa que se asignan los 6 primeros números de la lista para conformar los productos.
Hacemos la suma: 1·7 + 10·3 + (–6)·0 + (–7)·8 + (–17)·1 + (–11)·4 = 7 + 30 – 0 – 56 – 17 – 44 = 37 – 117 = 80, que no es divisible por 53, y en consecuencia 418037 tampoco lo es.
Ejemplo 2: Prueba que 2206761 es divisible por 53
Porque el número tiene 7 cifras usamos los siete primeros números de la lista.
Hacemos la siguiente suma (ya con los respectivos productos):
1·1 + 10·6 + (–6)·7 + (–7)·6 + (–17)·0 + (–11)·2 + (–4)·2 = 1 + 60 – 42 – 42 – 0 – 22 – 8 = 61 – 114 = –53, divisible por 53, y por tanto 2206761 también lo es.
Concluimos comentando que 106, 159, 212, 318, 371, 424, 477, 583, 636, 689, 742 y 795 son divisibles por 53, porque todos ellos contienen un número entero exacto de veces al 53 (el resto de la división es cero).
También se pueden examinar las reglas de divisibilidad por 2-5 y10 –7- -11– –13- -19– -29– -31- -39- -47-
Criterio del 53:
Si "retiramos" (suprimimos...) las dos últimas cifras del número, obtenemos un nuevo número. Si a este número le restamos el formado por esas dos últimas cifras multiplicadas por 9, entonces si el resultado hallado es divisible por 53, también lo es el número original.
Si hace falta (el número resultante es grande) el proceso se realiza de nuevo.
Ejemplo 3: Estudia si 2467315 es divisible por 53.
Al "retirar" las dos últimas cifras 15, el número resultante es 24673 (centenas) y 15; aplicando criterio:
24673 – 9·15 = 24538 "quitamos" 38 (dos últimas cifras) quedando 245 (centenas) y 38:
245 – 9·38 = 245 – 342 = –97 que no es múltiplo de 53 (53·2 = 106) ==> 2467315 no es divisible por 53.
Ejemplo 4: Y ¿772528 es divisible por 53.
Si "suprimimos" el 28 (dos últimas cifras), el número que resulta es 7725 (centenas) y 28; fijando regla:
7725 – 9·28 = 7473 si "eliminamos" las dos últimas cifras 73, se obtiene 74 (centenas) y 73:
74 – 9·73 = – 583
No tenemos en cuenta el signo y por ser el número grande operamos pero con el criterio anterior (usamos otro método en cualquier momento según convenga):
La suma es: 3·1 + 8·10 + 5(–6) = 3 + 80 – 30 = 83 – 30 = 53, luego 772528 es divisible por 53.