Descomposición factorial de un número

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Categoría: ESO

Publicado el Miércoles, 26 Octubre 2011 12:18

Escrito por Mariano Herrero

Descomposición factorial de un número: Consiste en expresar ese número como producto de  factores primos. Si alguno de estos se repite se pone en forma  potencial.

Todo número natural N se puede expresar de forma única como N = a^α·b^β·c^γ·d^δ...   donde   a, b, c, d, ...   son los números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13...)  y  α, β, γ, δ, ...  sus  exponentes.

Pasos a seguir:

Se dibuja un segmento vertical; a la izquierda se escribe el número a descomponer y a la derecha el menor número por el que es divisible aplicando  para ello las reglas de divisibilidad empezando por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... etc; si no es divisible por 2, se sigue con el 3; si no es divisible por 3, con el 5  y así sucesivamente.
Debajo del número que estamos factorizando se escribe el cociente de la primera división exacta y se reitera el proceso hasta que obtengamos un cociente primo, que  al dividir por él,  conseguimos el último cociente que es  1. El producto de los números de la derecha es su descomposición factorial.
 
Ejemplo 1: Descomponer en factores primos 180:

180 es divisible por 2, (lo colocamos a la derecha del segmento en la misma línea de 180) cuyo cociente es 90, que ponemos debajo de 180.

Reiteramos ahora con 90, que también es divisible por  2 (en la misma línea que 90 y a la derecha del segmento) y de cociente 45, que situamos debajo de 90.

Repetimos con  45 que no es divisible por 2 porque termina en 5, que  no es  0 ni  cifra par; si lo es por 3 porque la suma de sus cifras (4 + 5 = 9) es múltiplo de  3 que significa divisible por 3 y cuyo cociente es 15 y así sucesivamente.

 

 

Ejemplo 2: Factorizar (en factores primos) 420:

 

420 es divisible por 2 (lo colocamos a la derecha del segmento) cuyo cociente es 210, que ubicamos debajo de 420.

Repetimos pero con 210  divisible por  2 (lado derecho del segmento) con 105 de cociente  que ponemos debajo de 210.

Reiteramos con  105 que no es divisible por 2; probamos con 3 y vemos que es divisible (la suma de sus cifras  1 + 0 + 5 = 6 múltiplo de  3) con cociente 35.

Seguimos con 35; pero ya no probamos con el 2, ya que anteriormente 105 no era divisible por 2. Tampoco es divisible por 3 y lo es por 5, cuyo cociente es 7 (número primo).

 

Actividad:
Descompón en factores primos los números: 80, 110, 190, 320, 624, 816, 900, 1188, 1260, 1404, 15435, 16200, 49896, 15147, 16335, 15443, 839160, 873425.

Algunas soluciones: 80 = 2⁴·5;  110 = 2·5·11; 190 = 2·5·19;  320 = 2⁶·5;  624 = 2⁴·3·13;   900 =  2²·3²·5²;   1188 = 2²·3³·11

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