Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
- Detalles
- Categoría: ESO
- Publicado el Jueves, 27 Octubre 2011 11:43
- Escrito por Mariano Herrero
Máximo común divisor de dos o más números: Es el mayor de los divisores comunes. Se designa m.c.d. (a, b, c...)
Para hallar el máximo común divisor de varios números se descomponen en factores primos y se toman los comunes y de menor exponente.
Ejemplo 1: Cuál es el máximo común divisor de 72 y 60?
Vemos a la derecha la factorización de ambos números:
72 = 23 ·32
y 60 = 22·3·5
Divisores comunes: 2 y 3.
Menor exponente del 2: 22
Menor exponente del 3: 3
Luego m.c.d. (72, 60) = 22·3 = 4·3 = 12
Propiedades:
- Si dividimos dos números por sus m.c.d., los cocientes obtenidos son primos entre sí.
- Los divisores comunes a varios números son los divisores de su máximo común divisor.
- Si el máximo común divisor de dos números es 1, se dice que son primos entre sí.
Los números 5 y 9 son primos entre sí, ya que m.c.d. (5, 9) = m.c.d. (5, 32) =1.
Mínimo común múltiplo de dos o más números: Es el menor de los múltiplos comunes. Se escribe m.c.m. (a, b, c...)
Para hallar el mínimo común múltiplo de varios números se descomponen en factores primos y se toman los comunes y no comunes de mayor exponente. (se toman todos, pero los repetidos sólo el de mayor exponente)
Ejemplo 2: Halla el mínimo común múltiplo de 72 y 60
Hemos visto la descomposición de ambos números: 72 = 23·32 60 = 22 ·3·5
Divisores todos (comunes y no comunes) : 2, 3 y 5.
Mayor exponente del 2: 23
del 3: 32
y del 5: 5 Luego m.c.m. (72, 60) = 23 ·32·5 = 8·9·5 = 360
Propiedad: Los múltiplos comunes a varios números son los múltiplos de su mínimo común múltiplo.
- El producto del m.c.d. por el m.c.m. de dos números es igual al producto de dichos números. O sea m.c.d. (a, b) · m.c.m. (a, b) = a·b
Consecuencias: El m.c.d. (máximo común divisor) de varios números es igual o menor que el menor de todos ellos; sin embargo el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de varios números es igual o mayor que el mayor de ellos.
Ejemplo 3: Halla el m.c.d. y m.c.m. de 90, 235 y 940
La factorización de estos números es: 90 = 2·32 ·5; 235 = 5·47; 940 = 22·5·47
Divisores comunes: 5.
Menor exponente del 5: 51 = 5 (el exponente "1" no se pone). Según esto m.c.d. (90, 235, 940) = 5.
Todos los divisores (comunes y no comunes): 2, 3, 5 y 47
mayor exponentes del 2: 22
mayor exponentes del 3: 32
del 5: 5
y del 47: 47 luego m.c.m. (90, 235, 940) = 22·32·5·47 = 8460.
Ejemplo 4: Determinar los números x inferiores a 25 que satisfagan la condición m.c.d. (x,32) = 4 : explicarlo.
Descomponiendo en factores: 32 = 25 y 4 = 22; como son los factores comunes y de menor exponente de x y 32, el número x ha de ser de la forma 22·y = 4y (y = todos los números que no contengan el factor 2 en su descomposición factorial, como 3, 5, 7, 9, 11,...)
Luego x = 4 ; x = 4·3 =12; x = 4·5 = 20; 4·7 = 28; los números pedidos son 4, 12 y 20, pues 28 > 25 (no cumple el enunciado).
Por ejemplo 4·6 = 24 no vale pues 6 = 2·3 ( 24 = 23·3 ) y entonces m.c.d. (24, 32) = 23 = 8
Actividad:
Determina el m.c.d. y m.c.m. de los números: 315 y 675; 144 y 504; 115 y 256; 2205, 2520 y 3150