Ejercicios de intervalo de confianza PAEG Castilla la Mancha 2012

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Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Jueves, 14 Junio 2012 21:21
Escrito por Mariano Herrero


Ejercicio 1. Se sabe que "el peso de los paquetes de harina", que se producen en una fábrica, sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 20 gramos. Se seleccionan al azar 50 paquetes de harina y se observa que tienen un peso medio de 745 gramos.


a) Halla el intervalo de confianza para el peso medio de los paquetes de harina de dicha fábrica con un nivel de confianza del 97%.
b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. PAEG Castilla la Mancha junio 2012 Propuesta A

Solución: a) Nos piden el intervalo de confianza para la media de una muestra cuya fórmula es:   Intervalo de confianza para la media

Conocemos la media de la muestra = 745; desviación típica σ= 20 y tamaño de la muestra n = 50. Falta hallar zα/2

 

Cálculo de  zα/2 con un nivel de confianza del 97%


Sabemos que con un nivel de confianza del 97% => P( Z ≤ zα) = 1 – α = 0,97 y debemos pasar a P( Z ≤ zα/2) = 1 – α/2 .

Tenemos que 1 – α = 0,97 => α = 0,03 => α /2 = 0,015  lo que significa que P( Z ≤ zα/2) = 1 – α/2 = 1 – 0,015 = 0,985.

Mirando este valor dentro de la tabla de la N(0,1), zα/2 = 2,17.

 

Sustituyendo estos valores en el intervalo queda:   Sustituyendo valores en el intervalo de confianza para la media Castilla la Mancha junio 2012   = (745 – 6,1377,   745 + 6,1377) = (738,8623, 751,1377)

b) Para determinar la amplitud del intervalo restamos los límites superior e inferior del intervalo obteniendo 2E (2 veces el error máximo admisible) =    Fórmula que nos da la amplitud del intervalo de confianza

- Es directamente proporcional a  zα/2   y a  σ. A mayor zα/2   también corresponde mayor nivel de confianza. 
- Es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra n
- La desviación típica σ es de la población, es la que es, y no se puede variar.
Así pues para hacer más pequeño la amplitud del intervalo debemos rebajar el nivel de confianza, aumentar el tamaño de la muestra n o ambas aspectos a la vez.

 

Ejercicio 2: Se estudió el cociente intelectual de 10 estudiantes de 2º Bachillerato elegidos aleatoriamente de un determinado centro escolar, siendo estos valores: 80, 96, 87, 104, 105, 99, 112, 89, 90 y 110. Sabiendo que el cociente intelectual se distribuye según una normal con desviación típica 15, se pide:
a) Halla el intervalo de confianza al nivel del 95% para la media del cociente intelectual de los estudiantes de 2º Bachillerato de dicho centro escolar.
b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza.      PAEG Castilla la Mancha junio 2012 Propuesta B

Solución: a) Este ejercicio es semejante al anterior, pero con otros datos.

La media de la muestra es: (80 +96 + 87 +104 + 105 + 99 + 112 + 89 + 90 + 110)/10 = 972/10 = 97,2.

La desviación típica σ= 15 y tamaño de la muestra n = 10. Para hallar zα/2  con un nivel de confianza del 95% está calculado en teoría muestras PAEG Canarias, zα/2 = 1,96

Sustituyendo estos datos en la fórmula del intervalo de confianza se obtiene Se sustituye los valores en el intervalo de confianza para la media Castilla la Mancha B junio 2012   =  (97,2 – 9,297,   97,2 + 9,297) = (87,903, 106,497)

b) Ya se ha comentado anteriormente, y como en este caso ha de ser con el mismo nivel de confianza, la única opción es aumentar el tamaño de la muestra  n.