Ejercicio de álgebra PAEG Castilla la Mancha junio 2012

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Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Viernes, 15 Junio 2012 22:04
Escrito por Mariano Herrero


a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m € R

Sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas con parámetro

b) Calcula la solución cuando el sistema sea compatible determinado.           Castilla la Mancha PAEG junio 2012 Matemáticas II

Solución: a) Tenemos un sistema de 4 ecuaciones con tres incógnitas (más ecuaciones que incógnitas) que dependen de un parámetro m
Aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, llamemos M a la matriz de coeficientes de las incógnitas y M* la matriz ampliada con la columna de términos independientes. (el rango de la matriz de coeficientes de las incógnitas, no puede ser mayor que el número de estas)

Llamamos M a la matriz de coeficientes y M* a la matriz ampliada

Empezamos por hallar el rango de la matriz cuadrada M*, que hacemos por determinantes

Se desarrolla y se halla el valor del determinante de orden 4


(Para buscar CEROS en la columna 4 y desarrollar el determinante por esta columna, a la Fila 3 restamos la fila 4.)

(m – 2)(2m –10 – 2 + 3m – 9 – 2m+ 6 + 6 – m + 5) = (m – 2)(2m – 4) = 2(m – 2)2 = 0 => m = 2 doble.

Sustituyendo el valor del parámetro  (m = 2) la matriz ampliada queda:    Sistema 4x3 resultante al sustituir el parámetro m = 2

 

Para hallar el rango observamos lo siguiente:

El sistema es homogéneo (el rango de M y M* son iguales)
El menor de orden 2 formado por las dos primeras filas y dos primeras columnas  Partimos de un menor de orden 2 distinto de CERO                       

=> lo que significa que el rango al menos es 2

La Fila 4 es suma de las filas 2 y 3, luego la suprimimos
Los dos primeros elementos de la fila 3 es suma de los correspondientes de la suma de las filas 1 y 2, pero no ocurre lo mismo con el tercer elemento, luego el rango es 3

Para m = 2 => la matriz M está formada por las 3 primeras columnas de M*, por tanto su rango es 3

Resumiendo:

- Si m ≠ 2 => rango(M) = 3 y rango(M*) = 4 => Sistema incompatible (no hay solución)
- Si  m = 2 => rango(M) = 3 y rango(M*) = 3 = nro de incógnitas => Sistema compatible determinado (solución única)

b) Según se ha visto en el apartado a) se trata de un sistema homogéneo compatible determinado, lo que significa que la única solución posible es  x = y = z = 0 (solución trivial).