Ejercicio de Teoría de muestras. PAEG 2010 Canarias

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Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Martes, 15 Mayo 2012 12:27
Escrito por Mariano Herrero


Para una muestra de 625 jóvenes menores de 19 años se obtuvo una media muestral de 178 miligramos de colesterol por decilitro de sangre, con una desviación típica de 45 miligramos .
a) Si se afirma que el índice de colesterol medio en sangre, para jóvenes menores de 19 años, es como máximo 170 miligramos por decilitro, ¿los datos anteriores permitirían aceptar dicha afirmación con una significación del 1%?
b) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del colesterol por decilitro de sangre en la población de jóvenes menores de 19 años.         Propuesto PAEG septiembre 2010 Canarias

a) Hemos de ver si la media de la muestra, en este caso de 178 miligramos de colesterol por decilitro de sangre, está dentro de la región de aceptación. En caso afirmativo se acepta la hipótesis nula H0  y en caso contrario se rechaza.

Sea la hipótesis nula H0, que consideramos verdadera; μ = μ0 ≤ 170 (el enunciado dice como máximo).
La hipótesis alternativa H1 es: μ > 170. => Por ser H1 > H0 se trata de un contraste de medias unilateral por la derecha.
La región de aceptación para este caso es:        Región aceptación para la media unilateral por la derecha   

que vemos  representado gráficamente en color verde. gráfica de la región de aceptación para la media unilateral por la derecha


Los datos que tenemos son: α = 1%; σ = 45; n = 625; necesitamos zα
Pero sabemos que α = 0,01 => P( Z ≤ zα) = 1 – α = 1 – 0,01 = 0,99 => (Mirando en tablas de la N(0,1) e interpolando => zα = 2,326  (realizado con calculadora gráfica TI 84 plus redondeando la última cifra decimal)

Sustituyendo estos valores =>     sustituyendo datos en región aceptación   =   (– ∞, 170 + 4,1868) = (– ∞, 174,1868)

Puesto que  la media de la muestra = 178 no pertenece al intervalo   (– ∞, 174,1868), se rechaza la hipótesis nula H0  y por tanto NO se acepta dicha afirmación.

 

b) Los intervalos de confianza para la media muestral tienen la forma:    Intervalo de confianza para la media

Conocemos todos los datos excepto  zα/2. 

 

Calcular  zα/2 con un nivel de confianza del 95%

 

Pero sabemos que  P( Z ≤ zα) = 1 – α   y  debemos pasar  a  P( Z ≤ zα/2) = 1 – α/2 . Entonces para un nivel de confianza del 95% => 1 – α = 0,95  => α = 0,05 => α /2 = 0,025   lo que significa que  P( Z ≤ zα/2) = 1 – α/2 = 1 – 0,025 = 0,975.

Mirando este valor dentro de la tabla  de la N(0,1),  zα/2 = 1,96. 

Sustituyendo estos valores en el intervalo  queda:     sustituyendo valores en el intervalo de confianza para la media    (178 – 3,528; 178 + 3,528) =  (174,472 , 181,528)