Ecuación de segundo grado: demostración de la fórmula
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- Categoría: 1º Bachillerato
- Publicado el Jueves, 12 Enero 2012 01:09
- Escrito por Mariano Herrero
Hemos estudiado la ecuación de segundo grado y ahora vamos a demostrar mediante operaciones permitidas del álgebra (multiplicar una ecuación por un número distinto de CERO, sumar o restar una constante a los dos miembros de una ecuación, etc.) la ecuación ax2 + bx + c = 0, ( a ≠ 0) de tal forma que en el primer miembro haya un cuadrado perfecto y en el segundo lo que proceda.
Pasando c al segundo miembro queda: ax2 + bx = − c
Cómo completar un cuadrado perfecto
Tenemos: ax2 + bx y hemos de completar el cuadrado
Necesitamos algo parecido a esto: (ax + b)2 = a2x2 + 2abx + b2
El término en x de este cuadrado es 2ab, mientras que el de la ecuación de segundo grado es b
Igualmente el término en x2 de este cuadrado es a2, mientras que en la ecuación de segundo grado es a
Vemos que es necesario multiplicar ese primer miembro por a obteniendo: a2x2 + abx y estamos cerca.
Fijándonos en el término en x, que es el más importante, y multiplicamos por 2 resulta: 2a2x2 + 2abx y casi lo obtenemos.
Haciendo alguna otra prueba vemos definitivamente que multiplicando por 4a la ecuación primitiva de segundo grado se obtiene: 4a2x2 + 4abx = − 4ac
Como (2ax + b)2 = 4a2x2 + 4abx + b2, el termino b2 no lo tenemos; para ello lo sumamos en los dos miembros quedando: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac
(2ax + b)2 = b2 − 4ac Para quitar el cuadrado hacemos la raíz cuadrada a cada de los dos miembros 
Pasando + b al segundo miembro con signo −: 
Y dividiendo por 2a: 
quedando demostrada la fórmula