Ecuaciones y propiedades

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Categoría: ESO
Publicado el Jueves, 24 Noviembre 2011 01:19
Escrito por Mariano Herrero

¿Qué es una expresión algebraica

es un conjunto de letras y números separados entre si por los signos de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ejemplo: E = 2x2yz3 – 3xz2 + 6y.  Las letras representan números y se llaman variables; los números  2, –3, 6 se llaman coeficientes.

Términos semejantes de una expresión algebraica

son aquellos términos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes. Los términos semejantes se pueden sumar y restar.

Ejemplo: Dada la expresión  E = 3x – 4xy2 – 6x2 + 4x. Los términos  3x  y  4x  son semejantes; por lo tanto se pueden sumar quedando:  E = 7x – 4xy2 – 6x2

Igualdad son dos expresiones algebraicas separadas por el signo  “ = “
La expresión que precede al signo "=" se llama primer miembro de la igualdad, y la que le sigue, se llama segundo miembro.

Ejemplo: La expresión  2 + 5 = 7  es una igualdad.
x + 2 =  5 es una igualdad algebraica si  x = 3,  y falsa para cualquier otro valor de  x

Identidad  es una igualdad que se verifica  para cualquier valor de las variables
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a + b) (a – b) = a2 – b2   son  igualdades ciertas para cualquier valor de las variables  a  y  b. Esto se llama identidad.


Ecuación  es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solamente se verifica para determinados valores de sus  letras
Las letras se llaman incógnitas y se suelen representar por  las letras   x, y, z, t, ...

 

Soluciones o raíces de la ecuación

Son  los valores de las incógnitas que hacen que al sustituirlos en la ecuación, la igualdad se cumpla (sea cierta).

 

Resolver una ecuación

                                                    es hallar todas  sus soluciones, si las tiene.


Comprobar una ecuación 

Consiste en sustituir las incógnitas (variables) por las soluciones y ver si la igualdad se verifica (es cierta) o no

Ejemplo: Comprobamos que x = 2 es solución de la ecuación:  3x + 5 = 7x – 3
Valor del primer miembro para  x = 2        3·2 +5 = 6 + 5 = 11
Valor del segundo miembro:  7·2 – 3 = 14 – 3 = 11
Ambos miembros toman el mismo valor  11, luego x = 2 es solución de la ecuación.

Grado de una ecuación 

                                                    es el mayor exponente que tienen sus incógnitas, una vez se haya  operado hasta que no existan en la igualdad paréntesis, ni denominadores.

Ejemplo: 5x – 4y = 7  es una ecuación de primer grado (grado uno) con dos incógnitas, x e y.
(x – 2)·(x + 3) = 5  => Para verlo  quitamos paréntesis :   x2 + 3x – 2x – 6 = x2+ x – 6; por tanto es una  ecuación con una incógnita y de segundo grado.

 

Dos o más ecuaciones son equivalentes

cuando tienen la misma solución.

Ejemplo:  Las ecuaciones siguientes son equivalentes:
a) 4x – 2 = 2x
b) 3x +1= x + 3    ya que ambas tienen por solución x = 1.

 

Clasificación de las ecuaciones:

 

Por la variable:

  • Enteras. La variable  está sumando, restando o multiplicando  3x + 4 = 1
  • Racionales: Alguna incógnita aparece en el denominador:  
  • Irracionales. Cuando ninguna incógnita aparece debajo del signo radical:
  • Exponenciales, logarítmicas y trigonométricas


Por el número de incógnitas:

  • De una incógnita: 2x + 3 = 5x – 6
  • De dos incógnitas: 3x – 2y = 15
  • De tres incógnitas: 2x – y + 5z = 5
  • De n incógnitas (en general)


Por el grado:

  • Ecuaciones de primer grado o lineales. Cuando el mayor exponente con el que figura cualquier incógnita es uno: 3x – 2 = 7
  • Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Cuando el mayor exponente con que figura cualquier incógnita es dos: 2x2  + 3x – 5 = 0
  • Ecuaciones de grado n (en general): x5 + 2x2 – 3x + 1 = 0   sería de grado   5


Por el número de soluciones:

  • Compatibles. Aquellas ecuaciones que tienen solución: Se dividen a su vez en:

                   -  Compatibles determinadas. Si tienen un número finito de soluciones.

                          x –2 = 0. Su solución es única, x = 2.
                          x2 – 9 = 0. Tiene dos soluciones, x = 3   y   x = – 3.

                   -  Compatibles indeterminadas. Si tienen infinitas soluciones.

                         x + 2 = y. Tiene infinitas soluciones.

  • Incompatibles. Aquellas ecuaciones que no tienen solución: 2x – 1 = 2x + 3

    
Propiedades de las ecuaciones:


- Si a los dos miembros de una ecuación sumas o restas un mismo número o expresión, se obtienes otra ecuación equiva­lente a la dada.


De esta propiedad se deduce:
En una ecuación puedes pasar un sumando de un miembro a otro cambiándolo de signo (se llama transposición de términos). Por ejemplo, 6x – 8 = 4 => 6x = 4 + 8  => 6x = 12
Cuando en los dos miembros de una ecuación aparecen términos iguales y con el mismo signo, se pueden suprimir. Por ejemplo, 3x +2 – 5 = 4x – 5 <=> 3x + 2 = 4x

- Si multiplicas o divides los dos miembros de una ecuación por un mismo número o expresión distinta de cero, obtienes otra ecuación equivalente.

De la cual se deduce:
Para quitar los denominadores de una ecuación multiplica ambos miembros por el m.c.m.  de todos los denominadores; obtendrás así otra ecuación equivalente sin denominadores.
En una ecuación puedes pasar un término que está multiplicando al otro miembro dividiendo  y viceversa.