NUMEROS ENTEROS. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
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- Categoría: ESO
- Publicado el Martes, 02 Agosto 2011 11:46
- Escrito por Mariano Herrero
Si sólo interesa la jerarquía de las operaciones con potencias, productos, paréntesis, operaciones combinadas, etc..., se estudia ampliamente en el enlace.
El conjunto de los números enteros se representa por Z. Se realizan las mismas operaciones que se han visto con los números naturales.
Z = {.... –5, – 4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ,5 .........}
Los números enteros pueden ser positivos (son los naturales) y negativos, aquellos que van precedidos por el signo “–“. Son números negativos: – 4; – 1; – 23.
Cuando a los signos de la suma “+” o de la resta “–“, le sigue un número negativo, éste se escribe entre paréntesis. Nunca hay dos signos seguidos ( 8 + – 4 no es correcto).
Ejemplos: 7 + (– 3) = 7 – 3 = 4; 5 – (– 2) = 5 + 2 = 7
Esto se traduce en la regla de los signos:
(+)·(+) = + (se lee mas por mas igual a mas).
(+)·(–) = – (se lee mas por menos = menos).
(–)·(+) = – (se lee menos por mas = menos).
(–)·(–) = + (menos por menos = mas);
Resumiendo: Si tienen el mismo signo el resultado es + y si tiene distinto signo es –
En las explicaciones del tema hay unos cuantos ejemplos o ejercicios resueltos, que el alumno (estudiante) debe intentar resolver por su cuenta.
Valor absoluto de un número
Se llama valor absoluto de un número entero al número resultante de eliminar el signo, siendo siempre positivo (si es positivo queda como está y si es negativo se le quita el signo). El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por "| |". |3| = 3; |– 23| = 23;
Representación de los números enteros
El conjunto de los números enteros Z se representa sobre una recta.
El orden de dos números enteros: ( "<" se lee menor que; ">" se lee mayor que)
En el gráfico los números van desde – ∞ hasta + ∞ y – p < 0 < 1 < q < r; para comparar una pareja será menor el que se encuentre más a la izquierda.
– Si tiene el mismo signo:
– si son positivos es menor aquel que tenga menor valor absoluto.
– si son negativos será menor el de mayor valor absoluto.
– El 0 es mayor que todos los negativos y es menor que todos los positivos
– Cuando hay dos números enteros con signos distintos como q y – p, el negativo es siempre el menor.
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: suma, resta, multiplicación, división y potenciación
Suma de números enteros
Propiedades:
Interna: Porque el resultado de sumar dos números enteros, es otro número entero (4 + 9 = 13)
Asociativa: 7 + (3 – 5) = (7 + 3) – 5 = 7 + 3 – 5 = 5.
Elemento neutro: Es el CERO (0), pues si a cualquier número le sumamos 0, obtenemos ese mismo número: 0 + 12 = 12.
Elemento opuesto: es el propio número pero cambiado de signo (el opuesto de –7 es 7)
Conmutativa : 11 – 2 = – 2 + 11 = 9 (el orden no altera la suma)
Dos números son opuestos cuando su suma es 0.
Para hallar el opuesto de un número se le cambia de signo. El opuesto del 17 es – 17 y el de –14 es 14.
Cómo se suman o restan números enteros
En primer lugar se quitan los paréntesis, si los hay, utilizando la regla de los signos.
Se suman los números positivos por una parte y los negativos por otra.
Si tiene el mismo signo se suman y se pone el signo que tengan ambos; si tienen distinto signo se restan y se pone el signo del mayor (en valor absoluto):
Ejemplo 1: 7 – ( – 2) + 6 + ( – 11) = 7 + 2 + 6 – 11 = 15 – 11 = + 4 porque 15 es mayor que 11
Ejemplo 2: 8 + 2 + (–13 ) = 8 + 2 –13 = 10 – 13 = – 3 ( |–13| = 13 > 10 )
Cómo se multiplican números enteros
El producto o el cociente de dos números del mismo signo es un número positivo mientras que si son de distinto signo es un número negativo; es decir:
(+)·(+) = + (+)·(–) = – (mas por menos = menos) (–)·(+) = – (–)·(–) = +
Propiedades:
Interna: El producto de dos números enteros, es otro número entero => 8(–2) = –16
Asociativa: – 3·(2·9) = (– 3·2)·9 = – 3·2·9 = – 54.
Elemento neutro: El 1, pues si a cualquier número le multiplicamos por 1, obtenemos ese mismo número: –7·1= –7 .
Conmutativa : 8·5 = 5·8 = 40 (el orden de factores no altera el producto)
Distributiva del producto respecto de la suma: 2(5 – 7) = 2·5 + 2·(– 7) = 10 – 14 = – 4
Nota: En la operación 2(5 – 7) entre el 2 y el "(" no se suele poner nada, pero se asume que es un producto.
Con la propiedad distributiva podemos:
Sacar factor común por ambos lados : 15 – 9 = 3(5 – 3) = (5 – 3)3
Quitar paréntesis por la izquierda : 11(2 – 5 + 8) = 11·2 + 11·(–5) + 11·8 = 22 – 55 + 88 = 55
y por la derecha: (7– 3)4 = 7·4 – 3·4 = 28 –12 = 16
Cómo se dividen dos números enteros
La división entre dos números enteros no siempre es otro número entero; sólo lo es cuando el dividendo es múltiplo de divisor y se llama división exacta (el resto de la operación es CERO) .
Se aplica la regla de los signos igual que para la multiplicación. En tema aparte se estudia la división con números enteros.
La Potenciación con enteros se estudia con detalle en otro tema
Jerarquía de las operaciones (igual que con los números naturales)
Existe un orden o prioridad para efectuar las operaciones
– Corchetes: Cuando hay varios se opera de dentro hacia fuera, aunque con las nuevas tecnologías los corchetes han ido desapareciendo y se usan sólo paréntesis
– Paréntesis. Si hay varios paréntesis, se opera de dentro hacia fuera (se hacen primero los más internos)
– Potencias y raíces
– Productos y cocientes
– Sumas y restas.
Cuando las operaciones tienen la misma jerarquía, se efectúan según el orden natural de lectura (de izquierda a derecha). Cuando las expresiones son largas, se puede y se debe hacer varias operaciones a la vez.
Ejemplo 3: 48 : 4·3 : 2 = 12·3 : 2 = 36 : 2 = 18 se hace de izquierda a derecha
Ejemplo 4: 48 : (4·3) : 2 = 48 :12 : 2 = 4 : 2 = 2 primero paréntesis siguiendo el orden natural
Ejemplo 5: 48 : (4·3 : 2) = 48 : (12 : 2) = 48 : 6 = 8 primero operación paréntesis siguiendo el orden natural
OPERACIONES COMBINADAS
Son expresiones que contienen operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias, en las que para resolver bien, hay que tener en cuenta la jerarquía de las operaciones.
Ejercicio 1: 3 –20: 4 = 3 – 5 = – 2 (antes de restar hay que hacer la división)
Ejercicio 2: –3 + 24: 2 + 4 = – 3 + 12 + 4 = –3 +16 = 13
Ejercicio 3: –3 + 24: (2 + 4) = – 3 + 24: 6 = –3 + 4 = 1 Primero hacer el paréntesis.
Para saber más de operaciones combinadas
ACTIVIDADES
1. Opera según se indica:
a) 28 : 7·3 – 2·5 – 1 + (– 15) : – (– 3)·2 + 10
b) 9 – 6: (2 –4) – (– 18) : (– 3)2·4 – 14 + (– 2)·3
c) – 42: 2 – 2(4 + 3) – 3 [2 – (8+ 6: (– 2))] + 71
d) 15 – [8 – (2 – 10 : 2 + 2)] : 3
2. Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión de el resultado que se indica
a) 5 + 3·9 + 7 ==> 79 Solución: (5 + 3)9 + 7 = 8· 9 +7 = 72 + 7 = 79
b) 7 + 3·5 – 8 ==> 42
c) 7 + 3·5 + 2 ==> 52
d) 7 + 3·5 + 2 ==> 28
e) 4 + 7·4 – 3 ==> 11
f) 4 + 7·4 – 3 ==> 41
g) 5 + 7·4 – 5 ==> 43