Números naturales. Representación y operaciones
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- Publicado el Lunes, 25 Julio 2011 16:42
- Escrito por Mariano Herrero
Los números naturales se usan para contar los elementos de un conjunto (cardinal) y también para ordenar dichos elementos (ordinal).
Con ellos se puede hacer la adicción y la multiplicación; el resultado de esas operaciones es un número natural. No ocurre lo mismo con la resta (el minuendo debe ser mayor que el sustraendo) ni con la división: cuando dividimos dos números naturales sólo tiene sentido cuando el dividendo es múltiplo del divisor (división exacta).
El conjunto de los números naturales se representa por N, N = { 0, 1, 2, 3,..., 17, 18, 19...} y es infinito
Los números naturales son positivos. El signo de la adición es “+” y el de la resta “– “
Ejemplos: 6 + 3 = 9; 9 – 2 = 7 pero 3 – 5 = – 2 (no es natural)
OPERACIONES
Adición y sustracción de números naturales
Propiedades:
Asociativa: 2 + (3 +5) = (2 + 3) + 5 = 2 + 3+ 5 =10.
Conmutativa : 7 + 2 = 2 + 7 = 9 (el orden no altera la suma)
A todo número natural si le añadimos el 0, el resultado es el propio número: 7 + 0 = 7
Para ello: Se quitan los paréntesis si los hubiera, utilizando la regla de los signos (+ · + = +; + · – = – ) y se suman independientemente los positivos por un lado y los negativos por otro y se restan.
Ejemplo 1: 5 – 2 + (7 – 4) – (11 – 6) = 5 – 2 + 3 – 5 = 8 – 7 = 1
Ejemplo 2: 6 – ( 4 –1) + [2 + (15 – 10) + 8] = 6 – 3 + [2 + 5 + 8] = 6 – 3 + 15 = 21 – 3 = 18.
Primero se ha hecho el paréntesis dentro del corchete: [2 + (15 –10) + 8] = [2 + 5 + 8]
Multiplicación
Cuando hemos de hacer la adición del mismo número varias veces, tenemos otra operación matemática para realizarlo. Al número que sumamos se llama multiplicando y al número que indica las veces que se debe sumar multiplicador.
Así 7 + 7 + 7 + 7 = 7·4 = 28. El 7 es el multiplicando y 4 el multiplicador.
Propiedades:
Asociativa: 2·(4·5) = (2·4)·5 = 2·4·5 = 40.
Conmutativa : 7·3 = 3·7 = 21 (el orden de factores no altera el producto)
Todo número multiplicado por 1 es el propio número: 4·1 = 4
Distributiva del producto respecto de la suma: 2(4 + 7) = 2·4 + 2·7= 8 + 14 = 22
La propiedad distributiva permite:
Quitar paréntesis: 11(2 + 5 + 8) = 11·2 + 11·5 + 11·8 = 22 + 55 + 88 = 165
Sacar factor común: 6 + 9 = 3(2 + 3)
División de números naturales
La división sirve para repartir un cierto número de objetos entre un determinado número de personas. El dividendo es el número de objetos; el divisor el número de personas; el cociente es el número de objetos que corresponde a cada persona. El resto es el sobrante de la operación.
Si quiero repartir 16 naranjas (dividendo) entre 5 personas (divisor) corresponde a 3 (cociente) y sobra 1 (resto)
La división no es asociativa pues 12:(6:3) = 12:2 = 6 pero (12:6):3 = 2:3 no natural
La división no es conmutativa: 12:4 = 3 pero 4:12 no es un número natural.
El orden de las operaciones es:
De forma más completa se estudia en el tema de números enteros y en operaciones combinadas, paréntesis, etc.
Paréntesis y corchetes. Si hay varios paréntesis o corchetes, se opera antes con los más internos
Productos y cocientes: se realiza antes el que aparezca primero según se lee.
Sumas y restas.
A menudo, sobre todo si las expresiones son largas, conviene hacer varias operaciones a la vez.
Ejemplo 1: 2 + 16:2·4 = 2 + 8·4 = 2 +32 = 34
Ejemplo 2: 2 + 16:(2·4) = 2 + 16:8 = 2 +2 = 4 Fijarse lo que hace el paréntesis.
Representación en una recta
El conjunto de los números naturales N es un conjunto totalmente ordenado, es infinito y no tiene cota superior: 1 < 2 <3 < 4...<124 <125..<10000 < 100000<.... El símbolo "<" significa menor.
Se pueden representar sobre una recta.
Dados dos números a y b, se dice que a es menor que b, y se designa como a < b si la diferencia b – a es positiva. Así 8 < 13, pues 13 – 8 = 5.
Se aprecia que todos los números se encuentran a la derecha del CERO.
Desde un punto de vista gráfico si a < b, entonces el punto b corresponde al punto de la recta situado más a la derecha que a.
ACTIVIDADES
Realizar las siguientes operaciones:
a) 12 + 6:3 – 2
b) (5·2 + 3·4):11 + 10 Sol: 12
c) 12 + 27:3 – 3 + 11 Sol: 29
d) 17 + 28: (5 + 3 – 1)·3 - 7 Sol: 22
e) 3·2 – 15:[ 9 – 4·(5 – 2) + 6] primero paréntesis y luego corchete Sol: 1
f) 4 – 6:(4 –2) + 12: 2·3 + 130 – 2 Sol: 18
g) 93 : 33 – 82 : 42 + 6:2 – 31 Sol: 23
h) (8 – 2·2 + 30 + 15: 3): (10:2) Sol: 2
Solución a) 12 + 2 –2 = 14 – 2 = 12. (primero se divide y después la suma)
El alumno para operar con números pequeños debe hacer cálculos mentales y no acostumbrarse al uso de la calculadora.
Mucho cuidado con las calculadoras baratas o de propaganda (las NO científicas porque esta operación tan fácil (la primera de las actividades) la hacen mal, si, si, mal, por no tener en cuenta la jerarquía de las operaciones) pues hacen 18: 3 – 2 = 6 – 2 = 4. Esto está MAL. (Primero hay que dividir 6:3 y luego sumar 12).
Si la operación fuera: 6:3 +12 – 2 = 2 + 12 – 2 = 12, entonces lo hacen bien.