Sistema 4x3 dependiente de un parámetro
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- Categoría: 2º Bachillerato
- Publicado el Lunes, 06 Mayo 2013 20:55
- Escrito por Mariano Herrero
Hallar todas las soluciones del sistema 
para los valores de a que lo hagan compatible.
Nos encontramos con un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas (mayor número de ecuaciones que de incógnitas) dependiente de un parámetro. Puesto que el parámetro aparece en solo dos posiciones, es preferible hacerlo por el método de Gauss, pues simultáneamente hallamos los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada, así como el sistema equivalente escalonado correspondiente.
Para ver los rangos buscamos CEROS por debajo de la diagonal principal, empezando por la 1ª columna en la que se hacen tres trasformaciones:
Se han permutado la fila 4 con la fila 2, con el fin de que, en la medida de lo posible, el parámetro a no aparezca en la diagonal principal.
Prosiguiendo con el proceso, se buscan CEROS en las columnas segunda y tercera (por debajo de la diagonal principal) efectuando las trasformaciones señaladas:
Estudiamos la compatibilidad del sistema según los rangos de la matriz de coeficientes r(A) y de la matriz ampliada con los términos independientes r(A/B) discutiendo el sistema con ayuda del método de Gauss:
- Si a = 3, la 3ª fila (6 – 2a = 0; a –3 = 0) y 4ª filas tienen la forma 0xi = 0, y el sistema es compatible indeterminado (rango (A) = rango (A/B) = 2 < nro. de incógnitas).
- Si a ≠ 3, la 4ª fila tienen la forma 0xi = 3 – a ≠ 0, el sistema es incompatible, pues rango (A) = 3 y rango (A/B) = 4.
El sistema equivalente para a = 3 es: 
Como se ha visto este sistema es compatible indeterminado cuyo sistema equivalente tiene dos ecuaciones con tres incógnitas y la solución depende de un parámetro t.
Llamando z = t => y = (4t + 5)/2. Despejando x de la 1ª ecuación y sustituyendo : x = 2 + z– y = 2 + t –(4t + 5)/2 = –(2t + 1)/2
Solución: x = – (2t + 1)/2; y = (4t + 5)/2; z = t ¥t € R