Ejercicios de análisis PAEG Castilla la Mancha junio 2012

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Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Domingo, 17 Junio 2012 21:31
Escrito por Mariano Herrero


Ejercicio 1. Se considera la función f(x)= x3 + ax2 + bx + c. Calcula los valores de las constantes a, b y c  para que la gráfica de la función pase por el punto (0, 4), tenga un mínimo relativo en el punto de abscisa x = –1, y un punto de inflexión en x = – 2.
PAEG Castilla la Mancha junio 2012 -Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales


Solución: Este tipo de ejercicios, consecuencia de las aplicaciones de la derivadas de funciones, se limita a resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas escalonado, que por el método de sustitución resolvemos "de abajo hacia arriba".

Hacemos las sucesivas derivadas:

f'(x) = 3x2 + 2ax + b
f''(x)= 6x + 2a
f'''(x) = 6 ≠ 0 (condición para que haya punto de inflexión -P. I.-)

Enunciado ...tiene un P. I. en x = – 2 => (x = – 2 es una solución (raíz) de la ecuación resultante de la segunda derivada de la función igualada a CERO)
f''(x)= 6x + 2a => 6x + 2a = 0  se satisface para x = – 2 => 6(–2) + 2a = 0 => –12 + 2a = 0 => a = 12/2 = 6

Enunciado ...mínimo relativo en x = –1. (x = –1 es una raíz de la primera derivada de f(x) igualada a CERO) =>
f'(x) = 3x2 + 2ax + b => 3x2 + 2ax + b = 0. Pero conocemos (a = 6) => 3x2 + 12x + b = 0
Haciendo x = –1 => 3(–1)2 + 12(–1) + b = 0 => 3 –12 + b = 0 => –9 + b = 0 => b = 9

Enunciado ...pasa por (0, 4) => f(0) = 4 => 0 + 0 + c = 4 => c = 4

Solución: a = 6; b = 9; c = 4   => f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 4


Ejercicio 2. Dada función f(x)= x3 + ax2 + bx + c, calcula los parámetros a, b, c € R sabiendo que:
- la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = –1 tiene pendiente – 3
- f(x) tiene un punto de inflexión de coordenadas (1, 2).
PAEG Castilla la Mancha junio 2012 -Matemáticas II

Solución: Es semejante al anterior (f(x) es la misma => las derivadas sucesivas son iguales ).
Enunciado ...tiene un P. I. en (1,2) => f''(x)= 6x + 2a => (Igualando a CERO):  6x + 2a = 0
Se satisface para  x = 1 => 6·1 + 2a = 0 => 6 + 2a = 0 => a = – 6/2 = – 3

Enunciado...la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x = –1 tiene pendiente – 3;
significa que f'(–1) = –3 => f'(–1)= 3(–1)2 +2a(–1) + b = 3 –2a + b = –3
pero conocemos que a = – 3 (sustituyendo) => 3 –2(–3) + b = – 3 => 3 + 6 + 6 = –3 => b = –12

Enunciado ... El P. I. (1, 2) también es de f(x) => f(1) = 2 => 13 + a·12 + b·1 + c => 2 => 1 + a + b + c = 2
sustituyendo los valores hallados (a = –3 y b = –12) => 1 – 3 – 12 + c = 2 => –14 + c = 2 => c = 16

Solución: a = –3; b = –12; c = 16      La función queda:  f(x) = x3  – 3x2  – 12x + 16