Ejercicio de vectores. Castilla la Mancha PAEG 2012

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Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Domingo, 24 Junio 2012 23:53
Escrito por Mariano Herrero


Ejercicio 1. a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano π ≡ x – y + 3z = –3  con los ejes de coordenadas.
b) Si llamamos A, B y C a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el valor del parámetro λ € R para que el tetraedro de vértices A, B, C y D (–λ2, 2 +λ, –3) tenga volumen mínimo.                         Castilla la Mancha junio 2012 Matemáticas II

Solución: a) El eje X tiene por ecuaciones cartesianas: {y = 0; z = 0} cuya intersección con el plano π obtenemos  {x = –3; y = 0; z = 0}; así tenemos el punto  A (–3, 0, 0)
Igualmente las ecuaciones cartesianas del eje Y: {x = 0; z = 0} cuyo corte con el plano π obtenemos {x = 0; y = 3; z = 0}; => el punto B (0, 3, 0)
De la misma forma las ecuaciones del eje Z: {x = 0; y = 0} que corta al plano π en  {x = 0; y = 0; z = –1}; => C (0, 0, –1)

Área triángulo ABC = ½ (área del paralelogramo definido por el módulo de los vectores)

El área de dicho paralelogramo viene dado por el módulo del vector del producto vectorial de los vectores que definen el paralelogramo. Por tanto hallamos los vectores  (coordenadas del extremo – coordenadas del origen) y su producto vectorial: Hallamos vectores AB y AC y hacemos su producto vectorial

(hemos desarrollado el determinante por 1ª fila)

El área del triángulo es el (módulo del vector)/2:    Hallamos el módulo del vector = área del triángulo


b)El volumen del tetraedro es una sexta parte del volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.

Para determinar los tres vectores que definen el paralelepípedo tomamos como referencia el punto A (puede ser cualquiera).  El volumen del paralelepípedo viene dado por el producto mixto de los tres vectores. Por consiguiente determinamos  los vectores  y su producto mixto.
Hallamos el producto mixto que es el volumen del paralelepípedo

= 3λ2 –9 + 6 + 3λ + 27 = 3λ2 + 3λ + 24 = 3(λ2 + λ + 8)

V(tetraedro) = V (paralelepípedo)/6 = 3(λ2 + λ + 8)/6 = (λ2 + λ + 8)/2.

Para determinar el mínimo derivamos: V´(λ) = (2λ + 1)/2; igualando a CERO: 2λ + 1= 0 => λ = –1/2

Para comprobar que se trata de un mínimo derivamos de nuevo: V´´(λ) = 1 > 0 => Es un mínimo.