Sistemas lineales homogéneos

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Categoría: 1º Bachillerato
Publicado el Sábado, 02 Marzo 2013 14:01
Escrito por Mariano Herrero

Sistemas de ecuaciones lineales Homogéneos son aquellos sistemas de ecuaciones cuyos términos son todos ellos de primer grado (en consecuencia todos los términos independientes son nulos).


Sea el sistema homogéneo de m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas  visto en discusión y  solución por Gauss, con los términos independientes  b1 = b2 = b3 ... = bn = 0

Estos sistemas se caracterizan porque:

- Siempre son compatibles   (siempre hay solución), pues el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada con la columna de términos independientes (todos ellos CEROS) siempre son iguales.

- En consecuencia, según Teorema de Rouche Frobenius:

     - si r(A) = nº de incógnitas ==> el sistema es compatible determinado (solución única: x1 = x2 = x3 ... = xn = 0.) (solución trivial)
     - si r(A) < nº de incógnitas ==> el sistema es compatible indeterminado - ver ejemplo- (infinitas soluciones , también la solución trivial: x1 = x2 = x3 ... = xn = 0. (en este caso el determinante de la matriz de coeficientes es cero)

- Tanto cuando el sistema es compatible determinado, como cuando es indeterminado, siempre tienen la solución trivial: x1 = x2 = x3 ... = xn = 0. Esta solución no tiene interés; por consiguiente tienen mayor trascendencia las soluciones no triviales del sistema compatible indeterminado.

Ejemplo 1: Resolver el sistema   sistema de 3x3 homogéneo
Como en otras ocasiones resolvemos por Gauss en dos pasos; primeros hacemos los dos CEROS de la primera columna y luego el de la segunda, según las trasformaciones lineales que se indican.

sistema de 3x3 homogéneo resuelto por Gauss


Se obtiene un sistema escalonado con los términos independientes iguales a CERO, que se resuelve por sustitución de abajo hacia arriba.

Despejamos la z  de la última ecuación: –16z = 0 => z = 0
Sustituyendo este valor de z = 0 en la segunda ecuación: y + 0 = 0 => y = 0
Por último entrando en la primera ecuación con (z = 0; y = 0) obtenemos  x = 0

Luego la única solución es la llamada solución trivial: x = y = z = 0.

Si observamos el sistema escalonado, llegamos a la misma conclusión, pues el rango es 3 = número de incógnitas ==> el sistema es compatible determinado (solución única: x = y = z = 0.)