Cálculo de los ceros de un factorial
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- Categoría: 1º Bachillerato
- Publicado el Jueves, 07 Junio 2012 17:08
- Escrito por Mariano Herrero
Un número factorial por su propia definición ya está factorizado, aunque no todos sus factores son primos. Si descomponemos los factores compuestos en primos, el factorial del número queda de forma única: n! = N = aα·bβ·cγ·dδ.. donde a, b, c, d,.. son números primos (2, 3, 5, 7, 11...) y α, β, γ, δ, ... sus respectivos exponentes.
Para que termine en CERO, debe contener el producto 2·5 = 10. Por consiguiente el problema se reduce a calcular cuantas parejas de productos (2·5) aparecen en su descomposición en factores primos.
Para simplificar el problema llamamos M al producto de todos los factores primos (excepto el 2 y el 5) con sus respectivos exponentes, quedando el número N = M·2p·5q
Ahora bien como 2 < 5 y 4 = 22 < 5, significa que el exponente p que tenga el “2” en la factorización en factores primos es mayor que el exponente q correspondiente al “5”. En consecuencia N = M·2p-q·(2·5)q = M·2p-q·10q.
Conclusión:
El exponente que tenga el “5” en su descomposición en factores primos determina el número de ceros.
Entonces ¿tenemos que descomponer n! en factores primos?. No es necesario.
El problema se reduce a determinar los múltiplos de las potencias de 5 hasta n: 51, 52, 53 54, 55, 56, 57, 58, 59, ... = 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125, 390625, 1953125, ... y sumarlos
Los múltiplos de 5 son : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, ..., 110, 115, 120,125, ... pero no vamos a contarlos. Para saber cuántos hay simplemente efectuamos la división entera n/5.
De igual forma los múltiplos de 25 son: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225,250, ...,425, 450, 475, 500, 525, .... Para conocer cuántos hay realizamos la división entera n/25. Lo mismo con las demás potencias de 5.
Luego el número de CEROS (exponente q del 5) es : 
Con i = 1, n/5 calcula los múltiplos que hay de 5.
Con i = 2, n/25 determina los múltiplos de 25.
Con i = 3, n/125 halla los múltiplos de 125 que hay:
Con i = 4, n/625 los de 625, ... etc.
El primer número factorial que termina en CERO, aquel en que primero se encuentra los factores 2 y 5, es 5! = 2·3·4·5 (pero 4 = 22 ) = 2·3·22·5 = 23·3·5 = 22·3·(2·5) = 12·10 = 120
10! = 2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 2·3·22·5·(2·3)·7·23·32·(2·5) = 26·34·(2·5)2·7 = 26·34·7·102 = 3628800 es el primero que termina en DOS CEROS
Ejemplo 1. Calcula en cuántos ceros termina 22!
Para ver cuántos múltiplos de 5 hay hasta 22, hacemos la división entera por 5 (sin tener en cuenta el resto)
22 : 5 = 4 y 2 de resto (los múltiplos son 5, 10, 15 y 20). Por consiguiente 22! termina en cuatro CEROS.
Ejemplo 2. Halla los ceros en que termina 69!
Múltiplos de 5: Realizando la división entera por 5 (el resto no importa)
69 : 5 = 13 y 4 de resto (los múltiplos son 5, 10, 15, 20, 25, ..), tenemos 13
Aquí nos encontramos con otro pequeño problema: el 25 es múltiplo de 5, pero también 25 = 52, pues al tener exponente 2 nos proporciona otro CERO extra. Por tanto también tenemos que sumar todos los múltiplos de 25 que haya
Múltiplos de 25: Efectuamos la división entera como antes pero ahora por 25 (el resto no cuenta)
69 : 25 = 2 y 19 de resto (los múltiplos son 25 y 50), tenemos 2
Total 13 + 2 = 15 => 69! termina en 15 CEROS.
Ejemplo 3. Determina en cuántos ceros termina 4999! (factorial de 4999)
Tenemos que ver los múltiplos que hay de 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, ... y sumarlos.
El resto de las divisiones no lo tenemos en cuenta.
Múltiplos de 5: Realizando la división entera por 5 => 4999 : 5 = 999 y 4 de resto
Múltiplos de 25: Haciendo la división entera por 25 => 4999 :25 = 199 y 24 de resto
Múltiplos de 125: Si efectuamos la división entera por 125 => 4999 :125 = 39 y 124 de resto
Múltiplos de 625: Realizando la división entera por 625 => 4999 : 625 = 7 y 624 de residuo
Múltiplos de 3125: Efectuando la división entera por 3125 => 4999 : 3125 = 1 y 1874 de resto
Múltiplos de 15625: No hay pues 15625 > 4999
Número de ceros: 999 + 199 + 39 + 7 + 1 = 1245.
Otro sistema más eficaz: Realizando las divisiones sucesivas enteras por 5
Si hacemos la división entera del número n por 5, obtenemos un cociente n1; si ahora hacemos la división entera de n1 por 5 (es como si la hacemos la división entera de n por 25) obtenemos un cociente n2 y así sucesivamente hasta que el cociente obtenido sea menor que 5. La suma de todos esos cocientes nos da el números de ceros en que termina n!
Ejemplo 4. En cuántos ceros termina 99997! (factorial de 99997)
Obteniendo las divisiones sucesivas enteras por 5 tenemos:
99997 : 5 = 19999 y resto 2 => Son los múltiplos de 5
19999 : 5 = 3999 y residuo 4 => múltiplos de 25
3999 : 5 = 799 y resto 4 => múltiplos de 125
799 : 5 = 159 y resto 4 => múltiplos de 625
159 : 5 = 31 y residuo 4 => múltiplos de 3125
31 : 5 = 6 y resto 1 => múltiplos de 15625
6 : 5 = 1 y residuo 1 => múltiplos de 78125
Los restos de las divisiones se ponen pero no son necesarios ni se tienen en cuenta.
Sumando estos cocientes sucesivos sacamos el total de ceros: 19999 + 3999 + 799 + 159 + 31 + 6 + 1 = 24994