Factorial de un número

  • Imprimir
Detalles
Categoría: 1º Bachillerato
Publicado el Viernes, 27 Abril 2012 01:56
Escrito por Mariano Herrero


Se define factorial de un número natural (entero positivo)  n  y se escribe  n!  como el producto de los  n  primeros números naturales.

n! = 1·2·3·4·5·6·(n – 1)·n
1! = 1
0! = 1    (por convención)

Pongamos algunos ejemplos:

3! = 1·2·3 = 6
5! = 1·2·3·4·5 = 120
7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040
11! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11 = 39916800
13! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13 = 6227020800
21! = 51090942171709440000
29! = 8841761993739701954543616000000

El factorial de un número crece rápidamente a medida que crece  n, de tal forma que:
El cálculo de 14! = 87178291200, tiene 11 cifras ( las calculadoras científicas normales sólo  pueden visualizar 10), y por considerarlo número grande, lo pasan a notación científica : 14! = 8,71782912·1010.
69! = 1,711224523·1098.
70! = E    => la calculadora no puede  visualizar por ser un número demasiado grande.
70! = 1,1978571669969891796072783721689·10100
999! = 4,02387260077093773543702433923·102564
9999! = 2,8462596809170545189064132121199·1035655

Propiedad:  n! = n·(n –1)!

Hemos visto que  5! = 120, lo que significa que todos los números factoriales mayores que 5 terminan en CERO (pues todos son múltiplos de 120). El factorial tiene muchas aplicaciones sobre todo en combinatoria, binomio de Newton y función gamma.

¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 5 personas en un banco?


Sencillamente son las permutaciones de 5 elementos tomados de 5 en 5, y ese número es el factorial de 5 => 5! = 2·3·4·5 = 120

Semifactorial de un número

Se escribe  n!!  y queda definido:

      1                                                         si  n = 0  o  n = –1
      2·4·6·8·10·....·(n – 4)·(n – 2)·n        si  n  es par
      1·3·5·7·9·....·(n – 4)·(n – 2)·n          si  n  es impar

La hoja de cálculo de Microsoft le llama  doble factorial

Algunos ejemplos:

8!! = 2·4·6·8·10 = 3840
13!! = 1·3·5·7·9·11·13 = 135135

Relación entre factorial y semifactorial de un número


n! = n!!·(n –1)!!          pues si n es par => n!! son los pares alternos y (n –1)!! son los impares alternos
                                      si n es impar => n!! son los impares alternos y (n –1)!! son los pares alternos

(2n)!! = 2n·n!  

Demostración:  (2n)!! = 2n·(2n – 2)·(2n – 4)·...· 6·4·2          por la definición   y sacando el 2 factor común en cada  uno de los  n   factores queda: 2n [n·(n – 1)·(n – 2)·...· 3·2·1] = 2n·n!