Experimentos aleatorios: sucesos
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- Categoría: ESO
- Publicado el Domingo, 07 Julio 2013 22:17
- Escrito por Mariano Herrero
Cuando hablamos de Teoría de la probabilidad un experimento aleatorio es aquel que cuando lo realizamos en las mismas condiciones, se obtienen diversos resultados y no se puede predecir de antemano el resultado final.
Un ejemplo típico de experimento aleatorio consiste en arrojar reiteradamente un dado al aire y observar el número que figura en la parte superior del dado, cuando reposa sobre el tablero: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Espacio muestral es el conjunto de todos los diversos resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Lo designamos con la letra E. E puede ser un conjunto finito o infinito, numerable o continuo.
En el ejemplo de los dados el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Conjunto finito: sería el caso de los dados E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Conjunto infinito numerable: Tenemos una moneda y la lanzamos hasta que salga cruz. Esto puede ocurrir en la jugada 1ª, 2ª, 3ª,..., enésima,..., pues no se sabe y E = {1, 2, 3,..., n,...}
Conjunto infinito continuo: esperamos a un amigo para comer que nos ha dicho que llegaría entre las 3 y las 4. La posible hora de llegada es cualquier número real comprendido entre las 3 y las 4 con E = [3, 4]
Cualquier subconjunto del suceso E puede considerarse como suceso.
Suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Suceso elemental es el formado por un solo resultado del experimento. (cada uno de los posibles resultados que se pueden obtener al realizar una prueba).
Así, en el caso de los dados, cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, son los posibles sucesos elementales de la prueba.
Sucesos compuestos son aquellos que estan formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales. Un ejemplo puede ser: sacar número impar menor que 5 al lanzar un dado E = {1, 3}
Suceso seguro o cierto es aquel que siempre se verifica al realizar el experimento aleatorio, porque está formado por todo el espacio muestral.
Suceso imposible es aquel suceso que nunca se verifica cuando se realiza el experimento. Se representa por Ø .
Unión de sucesos A y B es otro suceso C, consistente en que se verifique al menos uno de ellos. Se representa C = A υ B.
Ejemplo: Si en el experimento aleatorio de lanzar un dado, consideramos los sucesos:
E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, espacio muestral;
A = < salir par > = { 2, 4, 6} ; B = < salir ≥ 4> = {4, 5, 6}, el suceso C unión (par o ≥ 4 ) será C = {2, 4, 5, 6}
Intersección de sucesos A y B es otro suceso C tal que se verifica C, siempre que se verifique A y B (es decir, se han de verificar los dos simultáneamente). Se representa C = A ∩ B. En el experimento anterior C = {4, 6} que son los únicos elementos comunes a A y B.
Dos sucesos A y B se dicen incompatibles o disjuntos cuando al verificarse uno de ellos no puede verificarse el otro (también cuando A ∩ B = Ø; es decir son excluyentes entre sí.).
Ejemplo: En el experimento del dado supongamos los sucesos A ={2, 4, 6}; B = {1, 3}
Evidentemente no pueden realizarse simultáneamente.
Dos sucesos A y B son compatibles cuando existe al menos un suceso elemental, que pertenece a ambos => A ∩ B ≠ Ø.
En el experimento de los dados supongamos los sucesos A = {1, 4, 5, 6} y B = { 3, 4, 5}
los elementos {4} y {5} son comunes a ambos, por lo tanto su intersección es ≠ Ø.
Ejemplo: Sea el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja y consideremos los sucesos siguientes: A = “salir rey”; B = “salir as”; C = “salir oros”
a) Que significan los sucesos A ∩ B ; A υ B ; A υ C.
El suceso A ∩ B significa “salir rey y salir as” (la ∩ se asemeja con la conjunción copulativa y);
evidentemente es imposible, pues no hay ninguna carta que sea a la vez rey y as)
El suceso A υ B significa “salir rey ó salir as” (la υ se asemeja con la conjunción disyuntiva ó ). Tenemos 8 cartas, 4 correspondientes a los cuatro ases y otras 4 correspondientes a los cuatro reyes)
Por último el suceso A υ C significa “salir rey ó salir oros”. Pueden salir los 10 oros o bien el as de copas, espadas ó bastos (pues el as de oros está contado en los 10 oros); por lo que tendremos (10 + 3) cartas = 13 cartas.
Sucesos dependientes cuando el resultado de uno influye en el resultado del otro.
Suceso contrario de otro es aquel que cuando se realiza uno no se verifica el otro (se excluyen mutuamente y su intersección es Ø.) y además la unión de ambos es el espacio muestral E.