Sistemas lineales con más incógnitas que ecuaciones
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- Categoría: 2º Bachillerato
- Publicado el Sábado, 10 Noviembre 2012 22:09
- Escrito por Mariano Herrero
Estos sistemas pueden ser compatibles indeterminados o incompatibles, pero nunca compatible determinado, por ser el número de ecuaciones menor que el número de incógnitas (según Tma. de Rouche-Frobenius).
A pesar de ser menor el número de ecuaciones, como en todo sistema, si alguna de las ecuaciones es combinación lineal de otras se puede eliminar (esa ecuación no da valor adicional al sistema).
Para resolverlo se pueden aplicar cualquiera de los métodos conocidos: -sustitución-, -reducción-, -Gauss- o Cramer:
El método de Gauss se puede utilizar siempre y no da ningún tipo de problemas (si alguna ecuación depende de otras el propio método se encarga de eliminar) y es aconsejable cuando el número de incógnitas es 4 o mayor.
Para utilizar los otros métodos hay que modificar un poco las ecuaciones dadas:
Se toman tantas incógnitas como ecuaciones haya, pasando al segundo miembro las incógnitas sobrantes como si fueran parámetros conocidos. De esta forma obtenemos un sistema con el mismo número de ecuaciones que incógnitas.
Una vez resuelto el sistema, este dependerá de las incógnitas sobrantes. Si esta incógnita es sola una la llamaremos t; si fueran dos las llamamos u y v. Dando valores a estos nuevos parámetros tendremos las infinitas soluciones del sistema
Sistema lineal de dos ecuaciones y tres incógnitas
Ejemplo: Resolver el sistema:
Puesto que son 3 incógnitas preparamos el sistema pasando la incógnita z al segundo miembro quedando el sistema: 
Lo resolvemos por el método de sustitución. Despejamos la incógnita x de la primera ecuación pues tiene coeficiente 1, por consiguiente queda: x = 3 + z – 2y
sustituyendo este valor de x en la segunda ecuación: 2(3 + z – 2y) + 3y = 7 – 2z => 6 +2z – 4y + 3y = 7 – 2z => - y = 7 - 2z – 6 –2z = 1 – 4z
Despejando la y (cambiando la ecuación de signo) y = 4z –1
Con este valor de y entramos en la ecuación despejada anteriormente: x = 3 + z – 2y= 3 + z – 2(4z –1) = 3 + z – 8z + 2 = 5 – 7z
Haciendo z = t obtenemos la solución: x = 5 – 7t; y = 4t –1; z = t
Si damos valores a t se obtiene las infinitas soluciones; así:
Para t = 0 => x = 5; y = –1; z = 0
Para t = 1 => x = 5 – 7; y = 4 – 1; z = 1 => x = – 2; y = 3; z = 1
Para t = 5 => x = – 30; y = 19; z = 5.