Problema de ecuación diferencial: ¿a qué hora empezó a nevar?
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- Categoría: Matemáticas
- Publicado el Miércoles, 07 Agosto 2013 00:59
- Escrito por Mariano Herrero
Está nevando con regularidad (con intensidad constante y se supone que la velocidad de la máquina es inversamente proporcional a la altura de nieve). Una máquina quitanieves sale a las 12 del mediodía y recorre 2 kms en la 1ª hora y 1 km en la 2ª hora.¿A qué hora empezó a nevar?
Un problema a simple vista enigmático y curioso, que me propusieron cuando estudiaba en la Facultad, pues parece que los datos son insuficientes, y que ahora resolvemos.
Sea t0 el tiempo trascurrido desde que empezó a nevar hasta las 12 horas que sale la máquina quitanieves y t el tiempo pasadas las 12.
Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto del tiempo, y que según enunciado se supone inversamente proporcional a la altura h que en cada momento alcanza la nieve.
Luego la velocidad de la máquina es: v = ds/dt = k/h km/hora (k es una cte.)
La altura h de la nieve es proporcional al tiempo trascurrido t0 + t (a más tiempo => más altura), pues nieva con regularidad. => h = k1(t0 + t) (k1 es otra constante)
(se ha aplicado la propiedad de que la resta de logaritmos es igual al logaritmo del cociente)
Puesto que recorre 2 kms en la 1ª hora y 1 km en la 2ª hora
Para t = 1, el espacio recorrido s = 2 km
Para t = 2 (pasadas dos hora ha recorrido 2 km en la 1ª hora + 1 en la 2ª = 3 km => sustituyendo ambos valores en la ecuación anterior:
La solución t0 = –1,30901699 horas no tiene sentido, pues empezó a nevar antes de las 12.
Solución t0 = 0,618033988 horas = 37 minutos y 4,922 segundos antes de las 12.
Empezó a nevar a 12 horas – (37 minutos y 4,922 segundos) = 11 horas, 22 minutos, 55,078 segundos.